LeetCode.070.Climbing Stairs 爬楼梯
题目描述
70 Climbing Stairs
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2:
输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
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509 Fibonacci Number
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解题过程
动态规划
dp[i]
表示爬 i 层台阶的方法数,则有递推公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
因为对于第 i 层台阶,我们可以从第 i-1 层台阶爬 1 层,或者从第 i-2 层台阶一次爬 2 层到达,所以爬 i-1 层台阶的方法数和爬 i-2 层台阶的方法数的总和就是爬 i 层台阶的方法数。
初始条件为 dp[0] = 1
,dp[1] = 1
为什么 dp[0]
是 0?
这是倒推出来的,我们计算知道爬 1 层台阶的方法数是 1,爬 2 层台阶的方法数是 2,所以为了满足 dp[2] = dp[1] + dp[0]
可以推出 dp[0] = 1
,代表的含义是爬 0 层台阶的方法数是 1,也可以理解。
由于 dp[i]
的值只依赖 dp[i-1]
和 dp[i-2]
,可以使用 滚动数组 的思想优化空间复杂度到 O(1)
时间复杂度 O(n)
,空间复杂度 O(1)
private static class SolutionV202006 {
public int climbStairs(int n) {
// dp[i] 表示爬 i 阶台阶的方法数,则 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2], dp[0] = 1, dp[1] = 1
int prePre = 1;
int pre = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int newPre = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = newPre;
}
return pre;
}
}
矩阵快速幂
斐波那契数列通项公式
这是一个斐波那契数列,斐波那契数列的第 n 项直接有通项公式可以算出来
$$
f(n) =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]
$$
斐波那契数列第n项的计算方法
LeetCode.070.Climbing Stairs 爬楼梯 的官方题解最后总结了斐波那契数列的计算方法:
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/
GitHub代码
algorithms/leetcode/leetcode/_070_ClimbingStairs.java
https://github.com/masikkk/algorithms/blob/master/leetcode/leetcode/_070_ClimbingStairs.java
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