MathJax数学公式

MathJax 公式笔记
Hexo博客中使用 MathJax js ，参考 Hexo博客(13)添加MathJax数学公式渲染

公式书写依然按照 MarkDown 语法来，基本上也和 LaTeX 相同，单$符引住的是行内公式，双$$符引住的是行间公式。
MathJax公式书写参考
http://meta.math.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference

Getting Started with MathJax
http://docs.mathjax.org/en/latest/start.html

MathJax官网
https://www.mathjax.org/

在线 Latex 编辑
https://www.latexlive.com/

MathJax行内公式

含下划线_的公式 $x_mu$ ： $x_mu$
向下取整 $\lfloor x \rfloor$ $\lfloor x \rfloor$
向上取整 $\lceil x \rceil$ $\lceil x \rceil$
希腊字符 $\sigma$ ： $\sigma$
行内公式 $y=ax+b$ ： $y=ax+b$

MathJax三角函数

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$
$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$

MathJax集合运算

$M(\beta^{\ast}(D),D) \subseteq C$
$M(\beta^{\ast}(D),D) \subseteq C$

MathJax指数对数

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} $$
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}$

$$ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $$
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$$ \log_{a^n} b = \frac{\log_a b}{n} $$
$\log_{a^n} b = \frac{\log_a b}{n}$

$$ \log_a b^n = n \log_a b $$
$\log_a b^n = n \log_a b$

$$ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $$
$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$

$$ x = e^{\ln x} $$
$x = e^{\ln x}$

$$ a^x = e^{\ln {a^x}} = e^{x \ln a} $$
$a^x = e^{\ln {a^x}} = e^{x \ln a}$

$$ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} = (e^{\ln x})^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} \ln x} $$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} = (e^{\ln x})^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} \ln x}$

MathJax手动输入空格

MathJax自己决定是否增加空格。所以直接输入空格是没用的。

$a\ b$ 单个空格
$a\ b$

$a \quad b$ quad 空格
$a \quad b$

$a \qquad b$ qquad 空格
$a \qquad b$

MathJax行间公式

行间公式$$ \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6} $$：
$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$

一元二次方程求根公式 $$ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$：
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

斐波那契数列通项公式

$$
f(n) =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]
$$

$f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$

n维空间中两个向量 $A(a_1,a_2,…,a_n)$ 和 $B(b_1,b_2,…,b_n)$ 之间的欧式距离是：

$$
d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n{(a_i-b_i)^2}}
$$

$d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n{(a_i-b_i)^2}}$

平面中两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的直线距离就是欧式距离：

$$
\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}
$$

$\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$

n维空间中两个向量 $A(a_1,a_2,…,a_n)$ 和 $B(b_1,b_2,…,b_n)$ 之间的余弦距离是：

$$
\cos \theta = \frac
{\sum_1^n{(a_i \times b_i)}}
{\sqrt{\sum_1^n(a_i^2)} \times \sqrt{\sum_1^n{b_i^2}}}
$$

$\cos \theta = \frac {\sum_1^n{(a_i \times b_i)}} {\sqrt{\sum_1^n(a_i^2)} \times \sqrt{\sum_1^n{b_i^2}}}$

二维空间中向量 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 之间的夹角的余弦为

$$
\cos \theta = \frac
{x_1x_2 + y_1y_2}
{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}
$$

$\cos \theta = \frac {x_1x_2 + y_1y_2} {\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

MathJax大括号右多行赋值(分支等式)

双 \\ 公式内换行，cases 实现大括号右多行赋值，& 用于列对齐
注意：为了和 marked.js 兼容，公式内改为4个反斜线 \\\\ 换行。

$$
f(n) =
\begin{cases}
n/2,  & \text{if $n$ is even} \\\\
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
$$

$f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases}$

又比如最长公共子序列的动态规划递推公式：

$$
lcs[i,j] =
\begin{cases}
0, & \text{if $i = 0$ or $j = 0$ } \\\\
cls[i-1, j-1] + 1,  & \text{if $i,j > 0$ and $x_i = y_j$ } \\\\
max(cls[i-1][j], cls[i][j-1]), & \text{if $i,j > 0$ and $x_i \neq y_j$ }
\end{cases}
$$

$lcs[i,j] = \begin{cases} 0, & \text{if $i = 0$ or $j = 0$ } \\ cls[i-1, j-1] + 1, & \text{if $i,j > 0$ and $x_i = y_j$ } \\ max(cls[i-1][j], cls[i][j-1]), & \text{if $i,j > 0$ and $x_i \neq y_j$ } \end{cases}$

MathJax方程组

线段 (x1, y1) - (x2, y2) 的参数方程为

$$
\begin{cases}
x = x_1 + t_1(x_2 - x_1) \\\\
y = y_1 + t_1(y_2 - y_1)
\end{cases}
\quad t_1 \in [0,1]
$$

$\begin{cases} x = x_1 + t_1(x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t_1(y_2 - y_1) \end{cases} \quad t_1 \in [0,1]$

MathJax多行公式对齐

比如多行公式推导中常用的等号对齐
begin{split} 表示开始多行公式，end{split}表示结束；公式中用\\表示回车到下一行，&表示对齐的位置。
为了和 marked.js 兼容，公式内改为4个反斜线\\\\换行。

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial{x^2}} &= \frac{\partial(\Delta_x f(i,j))}{\partial x} = \frac{\partial(f(i+1,j)-f(i,j))}{\partial x} \\\\
&= \frac{\partial f(i+1,j)}{\partial x} - \frac{\partial f(i,j)}{\partial x} \\\\
&= f(i+2,j) -2f(f+1,j) + f(i,j)
\end{split}
\nonumber
\end{equation}
$$

$\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial^2 f}{\partial{x^2}} &= \frac{\partial(\Delta_x f(i,j))}{\partial x} = \frac{\partial(f(i+1,j)-f(i,j))}{\partial x} \\ &= \frac{\partial f(i+1,j)}{\partial x} - \frac{\partial f(i,j)}{\partial x} \\ &= f(i+2,j) -2f(f+1,j) + f(i,j) \end{split} \nonumber \end{equation}$

MathJax公式自动编号

要想MathJax支持公式编号，需添加AMS支持，在脚本中添加如下MathJax配置项：

<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
  TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }
});
</script>

我上面mathjax.ejs脚本中已加入公式编号的配置。
书写时只要使用begin{equation}环境就会自动编号：

$$
\begin{equation}
\end{equation}
$$

注意此时会自动将文档内的所有begin{equation}公式连续编号，例如：

$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 )
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i))
\end{equation}
$$

$\begin{equation} \sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 ) \end{equation}$

$\begin{equation} \beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i)) \end{equation}$

禁止自动编号

在end{equation}前加\nonumber可禁止对此公式自动编号，例如：

$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 )
\nonumber
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i))
\end{equation}
$$

$\begin{equation} \sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 ) \nonumber \end{equation}$

$\begin{equation} \beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i)) \end{equation}$

MathJax公式手动编号

可以在公式书写时使用\tag{手动编号}添加手动编号，例如：

$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 ) \tag{1.2.3}
\end{equation}
$$

$\begin{equation} \sum_{i=0}^n F_i \cdot \phi (H, p_i) - \sum_{i=1}^n a_i \cdot ( \tilde{x_i}, \tilde{y_i}) + b_i \cdot ( \tilde{x_i}^2 , \tilde{y_i}^2 ) \tag{1.2.3} \end{equation}$

不加\begin{equation} \end{equation}也可以，例如：

$$
\beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i)) \tag{我的公式3}
$$

$\beta^*(D) = \mathop{argmin} \limits_{\beta} \lambda {||\beta||}^2 + \sum_{i=1}^n max(0, 1 - y_i f_{\beta}(x_i)) \tag{我的公式3}$

行内公式加\tag{}后会自动成为行间公式，例如：
$z = (p_0, ..... , p_n) \tag{公式21} $
$z = (p_0, ….. , p_n) \tag{公式21}$
又如：

$ s = r cos(a+b) = r cos(a) cos(b) - r sin(a) sin(b) \tag{1.1} $
$ t = r sin(a+b) = r sin(a) cos(b) - r cos(a) sin(b) \tag{1.2} $

$s = r cos(a+b) = r cos(a) cos(b) - r sin(a) sin(b) \tag{1.1}$
$t = r sin(a+b) = r sin(a) cos(b) - r cos(a) sin(b) \tag{1.2}$

参考Automatic Equation Numbering
http://docs.mathjax.org/en/latest/tex.html#automatic-equation-numbering

MathJax将下标放到正下方

1、如果是数学符号，那么直接用 \limits 命令放在正下方，如 max 函数下面的取值范围，需要放在 max 的正下方。可以如下实现：

$ \max \limits_{a \leq x \leq b} f(x) $

$\max \limits_{a \leq x \leq b} f(x)$

如果不加 \limits，直接使用 \max_{} 则是放在右下角标的，例如：

$ \max_{a \leq x \leq b} f(x) $

$\max_{a \leq x \leq b} f(x)$

2、若是普通符号，那么要用 \mathop 先转成数学符号再用 \limits，如
$ \mathop{wonima} \limits_{i=1} $
$\mathop{wonima} \limits_{i=1}$

3、对于双美元符的行间公式，Latex默认下标是放在正下方。所以就不需要加 \limits
例如

$$ \max_{a \leq x \leq b} f(x) $$

$\max_{a \leq x \leq b} f(x)$

MathJax控制括号大小

如果直接输入括号（花括号需要进行转义），其大小是固定的，如果公式的高度比较大，就会显得很不协调。
使用 \left 和 \right 能自动控制不同层次括号的大小，需要配对使用

$\left( \frac{a}{b} \right)$

$\left( \frac{a}{b} \right)$

$\left[ \frac{a}{b} \right]$

$\left[ \frac{a}{b} \right]$

$$ \left( \frac{3}{5}  \left[ 3 + 2 * \left( a + b \right) \right] \right) $$

$\left( \frac{3}{5} \left[ 3 + 2 * \left( a + b \right) \right] \right)$

$$
f\left(
  \left(
    \frac{
      1+x
    }{
      \left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right) \left(u+1\right)
    }+a
  \right)^{3/2}
\right)
$$

$f\left( \left( \frac{ 1+x }{ \left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right) \left(u+1\right) }+a \right)^{3/2} \right)$

还可以使用 \big 等一系列标签，包括 \big，\Big，\bigg，\Bigg。按着顺序，它们控制的括号不断变大。
不需要成对使用，可以单独控制半个括号。括号的大小由具体使用的标签控制，不能自动调整，所以需要注意匹配。

$$ \bigg( \frac{3}{5}  \Big( 3 + 2 * \big ( a + b \big ) \Big) \bigg) $$

$\bigg( \frac{3}{5} \Big( 3 + 2 * \big ( a + b \big ) \Big) \bigg)$

MathJax矩阵

注意：为了和 marked.js 兼容，公式内改为4个反斜线\\\\换行。

可以用 $$\begin{matrix} ... \end{matrix}$$ 来表示矩阵。将矩阵元素放在 \begin 和 \end 之间即可。
用 \\ 来分割行，为了和 marked.js 兼容，公式内改为4个反斜线\\\\换行
用 & 来分割同一行的矩阵元素。

无括号矩阵

$$
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\\\
1 & y & y^2 \\\\
1 & z & z^2 \\\\
\end{matrix}
$$

$\begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix}$

方括号矩阵

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\\\
-2 & 1 & 3 \\\\
\end{bmatrix}
$$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

矩阵运算

$$
\left(
    \begin{array}{c}
      s \\\\
      t
    \end{array}
\right)
=
\left(
    \begin{array}{cc}
      cos(b) & -sin(b) \\\\
      sin(b) & cos(b)
    \end{array}
\right)
\left(
    \begin{array}{c}
      x \\\\
      y
    \end{array}
\right)
$$

$\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} cos(b) & -sin(b) \\ sin(b) & cos(b) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$

有括号有竖线矩阵

$$
\left[
    \begin{array}{cc|c}
      1&2&3\\\\
      4&5&6
    \end{array}
\right]
$$

$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{array} \right]$

行内小矩阵

$\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$
这是一个行内小矩阵 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ ，直接嵌入行内。

这里有个问题，上面的写法在矩阵内没有换行，我看了下源码，双反斜杠\\又被MarkDown渲染引擎转义为单个反斜杠了，解决方法是写三个反斜杠\\\或在双反斜杠后换行即可：
$\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$
这是一个行内小矩阵 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ ，直接嵌入行内。

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